Оператор лапласа в различных системах координат. Оператор гамильтона дифференциальные операции второго порядка оператор лапласа понятие о криволинейных координатах сферические координаты. Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах
Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции : texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}
, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \operatorname{grad}F
в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2
, то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен .
Другое определение оператора Лапласа
Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f (x)
имеет в окрестности точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ x_0
непрерывную вторую производную Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f""(x)
, то, как это следует из формулы Тейлора
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f(x_0+r)=f(x_0)+rf"(x_0)+\frac{r^2}{2}f""(x_0)+o(r^2),
при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f(x_0-r)=f(x_0)-rf"(x_0)+\frac{r^2}{2}f""(x_0)+o(r^2),
при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): r\to 0,
вторая производная есть предел
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f""(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.
Если, переходя к функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
от Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)
рассматривать её Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ k
-мерную шаровую окрестность Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ Q_r
радиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r
и разность между средним арифметическим
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma
функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F
на границе Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ S_r
такой окрестности с площадью границы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \sigma(S_r)
и значением Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F(M_0)
в центре этой окрестности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
, то в случае непрерывности вторых частных производных функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F
в окрестности точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ M_0
значение лапласиана Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F
в этой точке есть предел
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.
Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F
, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \omega(Q_r)
- объём окрестности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ Q_r.
Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.
Доказательство этих формул можно найти, например, в .
Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F.
Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.
Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат
В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): q_1,\ q_2,\ q_3
:
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_i\
- коэффициенты Ламе .
Цилиндрические координаты
В цилиндрических координатах вне прямой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r=0
:
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left(r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Сферические координаты
В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left(rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
В случае если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f=f(r)
в n
-мерном пространстве:
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.
Параболические координаты
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
Цилиндрические параболические координаты
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.
Общие криволинейные координаты и римановы пространства
Пусть на гладком многообразии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
задана локальная система координат и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): g_{ij}
- риманов метрический тензор на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
, то есть метрика имеет вид
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j
.
Обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): g^{ij}
элементы матрицы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): (g_{ij})^{-1}
и
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}
.
Дивергенция векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): F
, заданного координатами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): F^i
(и представляющего дифференциальный оператор первого порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}
) на многообразии X
вычисляется по формуле
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)
,
а компоненты градиента функции f - по формуле
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.
Оператор Лапласа - Бельтрами на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
:
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).
Значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f
является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.
Применение
С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
Вариации и обобщения
- Оператор Д’Аламбера - обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений . Включает в себя вторую производную по времени.
- Векторный оператор Лапласа - обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.
См. также
Напишите отзыв о статье "Оператор Лапласа"
Литература
Ссылки
|
Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:
Оператор называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).
Решение уравнения Лапласа
Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.
Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.
Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение f по нормали к границе.
Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах
Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.
В сферических координатах ( уравнение Лапласа имеет следующий вид:
В полярных координатах ( система координат уравнение имеет вид:
В цилиндрических координатах ( уравнение имеет вид:
К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами и , разность потенциалов между которыми равна
|
Решение | Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии:
Оно имеет решение +B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим: Следовательно Получим: В результате имеем: |
Ответ | Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией |
ПРИМЕР 2
Задание | Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу). |
Решение | Поместим начало координат в положение равновесия частицы. При этом можно считать, что потенциал представляется в виде: |
Рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление gradtx для скалярного поля а и rot а для векторного поля а = а(ж, у, г). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора V («набла»): Оператор V (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и вектор- ными свойствами. Формальное умножение, например, умножение ^ на функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование: В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором V будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы: 1. Если - скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим где P, Q, R - дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты 3. Вычисляя векторное произведение , получим Для постоянной функции и = с получим а для постоянного вектора с будем иметь Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем Замечание 1. Формулы (5) и (6) можно трактовать тамке как проявление дифференциальных свойств оператора «набла» (V - линейный дифференциальный оператор). Условились считал., что оператор V действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, например, - скалярный дифференциальный оператор. Применяя оператор V к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения. Пример 1. Доказать, что По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем или Чтобы отметить тот факт, что «набл а» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается. Пример 2. Пусть u(xty,z) - скалярная дифференцируемая функция, а(х,у,г) - векторная дифференцируемая функция. Доказать, что 4 Перепишем левую часть (8) в символическом виде Учитывая дифференциальный характер оператора V, получаем. Так как ие - постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что а (на последнем шаге мы опустили индекс е). В выражении (V, иас) оператор V действует только на скалярную функцию и, поэтому В итоге получаем Замечай ие 2. Используя формализм действа с оператором V как с вектором, надо помнить, что V не является обычным вектором - он не им«ет ни длины, ни направления, так что. например, вектор }